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IV wurf nicht erspart werden, daB sie zu lange gebraucht haben, urn diese Tat- sache richtig zu erkennen und vor allem, urn die richtigen Konsequenzen daraus zu ziehen. Auch an den osterreichischen technischen Hochschulen, die hin- sichtlich der Ausbildung ihrer Absolventen nieht nur in den praktischen, sondern vor allem auch in den theoretischen Fachern stets einen recht guten Ruf hatten, hat man in der Zeit zwischen den beiden Weltkriegen Zahl und AusmaB der rein praktischen Vorlesungen auf Kosten der theoretischen Facher immer mehr vergroBert. Das stand aber in direktem Gegensatz zu den Erfordernissen der industriellen Praxis, und das Ergebnis war, daB die Industrie fUr die wissen- schaftliche Arbeit in steigendem MaBe Universitatsabsolventen heranzog, weil sie eben auf die praktische Ausbildung eher verzichten konnte als auf die theo- retische. Es war hochste Zeit, hier eineUmkehr einzuleiten, sollten die technischen Hochschulen nieht gegeniiber den Universitaten einerseits und den technischen Mittelschulen anderseits ilire Existenzberechtigung iiberhaupt verlieren. Die Wiener Hochschule hat jedenfaHs die Gelegenheit, die sich vor vier Jahren bot, geniitzt und eine weitgehende Reform des Studienplanes zugunsten der 'grundlegenden Facher durchgefUhrt; sie ist damit aus einer besseren Fachschule wieder eine wissenschaftliche Lehr-und Forschungsstatte geworden. Darin also besteht meine Rechtfertigung dafiir, daB ich diese Vorlesungen in Buchform herausgebe. Bei einem solchen Vorhaben ist natiirlich ein einwand- freies Herausarbeiten der grundlegenden Begriffe ganz besonders geboten. Ich habe gesagt, daB der moderne Techniker ein guter Mathematiker sein muB.

Full Product Details

Author:   Adalbert Duschek
Publisher:   Springer Verlag GmbH
Imprint:   Springer Verlag GmbH
Edition:   4. Auflage 1965
Dimensions:   Width: 17.00cm , Height: 2.30cm , Length: 24.40cm
Weight:   0.774kg
ISBN:  

9783709176924

ISBN 10:   3709176921
Pages:   442
Publication Date:   21 March 2012
Audience:   Professional and scholarly ,  Professional & Vocational
Format:   Paperback
Publisher's Status:   Active
Availability:   Manufactured on demand  
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Language:   German

Table of Contents

I. Zahlen und Zahlenfolgen.- 1. Der Zahlbegriff.- 1. Die naturlichen Zahlen und die vollstandige Induktion.- 2. Die ganzen und die rationalen Zahlen. Ziffernsysteme.- 3. Die irrationalen und die reellen Zahlen.- 4. Die komplexen Zahlen.- 5. Vorzeichen und absoluter Betrag.- 6. Die Fakultat.- 7. Die Binomialkoeffizienten und der binomische Lehrsatz.- 8. Das Additionstheorem der Binomialkoeffizienten.- 2. Punkt- und Zahlenmengen.- 1. Der Mengenbegriff.- 2. Die Zahlengerade.- 3. Einige wichtige Begriffe und Satze aus der Lehre von den linearen Punktmengen.- 4. Abzahlbare Mengen.- *5. Der Dedekindsche Schnitt und die Definition der irrationalen Zahlen.- *6. Schnitte in der Menge der reellen Zahlen.- *7. Untere und obere Grenze einer Menge.- *8. Beweis des Satzes von Bolzano-Weierstrass.- 3. Folgen. Konvergenz und Grenzwert.- 1. Begriff der Folge. Beispiele.- 2. Konvergente und divergente Folgen. Der Grenzwert einer konvergenten Folge.- 3. Satze uber konvergente Folgen. Monotone Folgen.- 4. Das Rechnen mit Grenzwerten.- 5. Das allgemeine Konvergenzprinzip von Cauchy.- 6. Die Intervallschachtelung.- 7. Der Boreische UEberdeckungssatz.- 4. Spezielle Zahlenfolgen.- 1. Ein Hilfssatz.- 2. Die Potenz.- 3. Die geometrische Reihe.- 4. Die Folge $$ {u_v} = \root v \of a ,a >0 $$.- 5. Die Folge $$ {u_v} = \root v \of v $$.- 6. Die Folge $$ {u_v} = 1 + \frac{1} {{1!}} + \frac{1} {{2!}} + ... + \frac{1} {{v!}} $$.- 7. Die Folge $$ {v_v} = {\left( {1 + \frac{1} {v}} \right)^v} $$.- 8. Das arithmetisch-geometrische Mittel.- 5. Kombinatorik.- 1. Permutationen.- 2. Kombinationen ohne Wiederholung.- 3. Kombinationen mit Wiederholung.- 4. Variationen ohne Wiederholung.- 5. Variationen mit Wiederholung.- II. Der Funktionsbegriff.- 6. Grundbegriffe und wichtigste Eigenschaften von Funktionen.- 1. Cartesische Koordinaten in der Ebene.- 2. Cartesische Koordinaten im Raum.- 3. Der Begriff der Funktion.- 4. Beispiele.- 5. Gleichung und Identitat.- 6. Einige Hinweise.- 7. Beschrankte Funktionen.- 8. Monotone Funktionen.- 9. Gerade und ungerade Funktionen.- 10. Die Umkehrfunktion oder inverse Funktion.- 11. Implizite Funktionen.- 12. Einteilung der Funktionen einer Veranderlichen.- 7. Grenzwert und Stetigkeit.- 1. Verhalten einer Funktion in der Umgebung eines Punktes.- 2. Endgultige Definition des Grenzwertes einer Funktion.- 3. Zusammenhang mit dem Grenzwert von Zahlenfolgen.- 4. Rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert.- 5. Uneigentliche Grenzwerte.- 6. Verhalten einer Funktion im Unendlichen.- 7. Zusammenfassung. Das allgemeine Konvergenzprinzip von Cauchy.- 8. Die Potenz mit rationalem Exponenten.- 9. Die Groessenordnung von Funktionen.- 10. Das Rechnen mit Grenzwerten.- 8. Stetige Funktionen und ihre Eigenschaften.- 1. Der Begriff der Stetigkeit.- 2. Einige Definitionen.- 3. Die Stetigkeit zusammengesetzter Funktionen.- 4. Beschranktheit der stetigen Funktionen.- 5. Der Satz von Weierstrass uber das Maximum und Minimum einer stetigen Funktion.- 6. Der Zwischenwertsatz (Satz von Bolzano).- 7. Die Eindeutigkeit der inversen Funktion.- 8. Gleichmassige Stetigkeit.- 9. Funktionenfolgen.- 10. Gleichmassige Konvergenz. Stetigkeit der Grenzfunktion.- 11. Die Regula falsi.- III. Integral und Ableitung..- 9. Flacheninhalt und bestimmtes Integral.- 1. Allgemeines zum Begriff des Flacheninhalts.- 2. Normalbereiche.- 3. Das bestimmte Integral einer Funktion.- 4. Beweis der Ungleichung J* ? J* Die Integrierbarkeit der stetigen Funktionen.- *6. Beweis der Beziehungen (8) bis (10).- 10. Erganzungen zum Integralbegriff.- 1. Satze uber bestimmte Integrale.- 2. Die Integrierbarkeit der monotonen Funktionen.- 3. Die Integrierbarkeit stuckweise stetiger beschrankter Funktionen.- 4. Der erste Mittelwertsatz der Integralrechnung.- 5. Integration der Potenz mit rationalem Exponenten.- 11. Die Ableitung oder der Differential quotient.- 1. Das Tangentenproblem.- 2. Differenzenquotient und Ableitung.- 3. Differenzierbarkeit und Stetigkeit.- 4. Die Bedeutung der Differentiale.- 5. Die Geschwindigkeit eines bewegten Punktes.- 6. Das Newtonsche Verfahren.- 12. Regeln und Satze der Differentialrechnung. Extrema.- 1. Differentiation einer Summe.- 2. Differentiation eines Produktes.- 3. Differentiation eines Quotienten.- 4. Differentiation zusammengesetzter Funktionen (Kettenregel).- 5. Differentiation der inversen Funktion.- 6. Differentiation der Potenz x? fur rationale ?.- 7. Begriff des Extremums. Eine notwendige Bedingung fur ein Extremum einer differenzierbaren Funktion.- 8. Bestimmung des groessten, einem Kreis eingeschriebenen Rechtecks.- 9. Randextrema.- 10. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 11. Der Satz von Rolle und der Beweis des Mittelwertsatzes.- 12. Der verallgemeinerte Mittelwertsatz der Differentialrechnung.- 13. Loesung einer Gleichung f(x) = 0 durch Iteration.- 13. Das unbestimmte Integral.- 1. Das bestimmte Integral mit variabler oberer Grenze.- 2. Die Ableitung eines bestimmten Integrals mit variabler oberer Grenze.- 3. Das unbestimmte Integral und der Fundamentalsatz der Integralrechnung.- 4. Eine Deutung der Integrationskonstanten.- 5. Zusammenhang von bestimmtem und unbestimmtem Integral.- 6. Geometrische Deutung des unbestimmten Integrals. Kurvenscharen.- 7. Begriff der Differentialgleichung.- 8. Differentiation und Integration als inverse Rechenoperationen.- 9. Physikalische Anwendungen.- 10. Graphische Integration.- 11. Graphische Differentiation.- 14. Regeln und Methoden der Integralrechnung.- 1. Einfachste Integrationsregeln.- 2. Bemerkung uber die Systematik der Integration. Die Integrale der elementaren Funktionen.- 3. Partielle Integration.- 4. Rekursionsformeln.- 5. Transformation eines Integrals.- 6. Integrale gerader und ungerader Funktionen mit symmetrischem Integrationsbereich.- 7. Zusammenhang der Mittelwertsatze der Differentialrechnung mit jenen der Integralrechnung.- 8. Der zweite Mittelwertsatz der Integralrechnung.- 9. Integration und Differentiation konvergenter Funktionenfolgen.- 15. Hoehere Ableitungen.- 1. Begriff der hoeheren Ableitungen einer Funktion.- 2. Hoehere Ableitungen einer zusammengesetzten Funktion.- 3. Hoehere Ableitungen der inversen Funktion.- 4. Hoehere Ableitungen eines Produktes (Leibnizsche Formel).- 5. Ein zweiter Beweis des binomischen Satzes.- IV. Die elementaren transzendenten Funktionen..- 16. Logarithmus und Exponentialfunktion.- 1. Das Integral $$ \int\limits_1^x {\frac{{du}} {u}} $$.- 2. Der naturliche Logarithmus.- 3. Die naturliche.- 1 Exponentialfunktion.- 4. Die allgemeine Exponentialfunktion.- 5. Die allgemeine Potenz.- 6. Der allgemeine Logarithmus.- 7. Grenzwerte, die mit Logarithmus und Exponentialfunktion zusammenhangen.- 8. Logarithmische Differentiation.- 9. Die Differentialgleichung der Exponentialfunktion.- 10. Stetige Verzinsung.- 11. Zerfall der radioaktiven Substanzen.- 12. Stromverlauf beim Ein-und Ausschalten eines elektrischen Stromkreises.- 13. Funktionsskala und Rechenschieber.- 17. Die Kreisfunktionen und die zyklometrischen Funktionen.- 1. Gradmass und Bogenmass eines Winkels.- 2. Definition der Kreisfunktionen.- 3. Die Additionstheoreme.- 4. Die harmonische Schwingung.- 5. Differentiation und Integration der Kreisfunktionen.- 6. Definition der zyklometrischen Funktionen.- 7. Differentiation der zyklometrischen Funktionen.- 8. Polarkoordinaten in der Ebene.- 9. Polarkoordinaten im Raum.- 10. Zylinderkoordinaten.- 11. Transformation rechtwinkeliger Koordinaten in der Ebene.- 18. Die Hyperbelfunktionen und ihre Umkehrungen.- 1. Definition der Hyperbelfunktionen.- 2. Geometrische Deutung.- 3. Additionstheoreme und verwandte Formeln.- 4. Differentiation und Integration der Hyperbelfunktionen.- 5. Die Umkehrfunktionen.- 6. Die Integrale $$ {J_1} = \int {\frac{{dx}} {{a{x^2} + bx + c}}} $$ und $$ {J_2} = \int {\frac{{dx}} {{\sqrt {a{x^2} + bx} + c}}} $$.- V. Erganzungen zur Differential- und Integralrechnung.- 19. Die Parameterdarstellung einer Kurve. Vektoren in der Ebene.- 1. Die Parameterdarstellung einer Kurve.- 2. Differentiation einer Funktion in Parameterdarstellung. Glatte und stuckweise glatte Kurven.- 3. Vektoren in der Ebene.- 4. Beispiele.- 5. Der Beschleunigungsvektor.- 6. Rationale Kurven.- 20. Unbestimmte Formen.- 1. Grenzwert eines Quotienten, wenn Zahler und Nenner verschwinden (Bernoullische Regel).- 2. Unbestimmte Formen.- 3. Der Fall $$ \frac{\infty } {\infty } $$.- 4. Der Fall 0. ?.- 5. Die Falle I?, 0 Degrees und ? Degrees.- 6. Der Fall ? - ?.- 7. Die Ordnung der Nullstellen und ?-Stellen von Exponentialfunktion und Logarithmus.- 21. Uneigentliche Integrale.- 1. Integrale mit nicht beschranktem Integranden.- 2. Eine hinreichende Bedingung fur die Konvergenz.- 3. Uneigentliche Integrale mit nicht beschranktem Integrationsbereich.- 4. Beispiele.- 22. Die Taylorsche Formel.- 1. Die Taylorsche Formel fur ein Polynom.- 2. Die Taylorsche Formel fur eine beliebige Funktion.- 3. Darstellung des Restgliedes durch ein Integral.- 4. Abschatzung des Restgliedes.- 5. Die Gestalt einer Kurve in der Umgebung eines Punktes.- 6. Notwendige und hinreichende Bedingungen fur ein relatives Extremum einer Funktion von einer Veranderlichen.- 7. Bemerkungen uber die Taylorschen Polynome und die Beruhrung von Kurven.- 23. Die Formeln von Wallis und Stirling.- 1. Die Formeln von Wallis.- 2. Die Formel von Stirling.- 3. Beweis der Stirlingschen Formel.- 4. Das Integral $$ \int\limits_0^\infty {{e^{ - {x^2}}}} dx $$.- 24. Der Flacheninhalt ebener Bereiche.- 1. Zuruckfuhrung auf Normalbereiche.- 2. Der Flacheninhalt als Kurvenintegral.- 3. Beispiele.- 4. Weitere Formeln fur den Flacheninhalt.- 5. Die Invarianz des Flacheninhalts.- 6. Flacheninhalt in Polarkoordinaten.- 25. Die Bogenlange einer Kurve.- 1. Begriff der Bogenlange.- 2. Darstellung der Bogenlange durch ein bestimmtes Integral.- 3. Das Bogenelement.- 4. Die Bogenlange in Polarkoordinaten.- 5. Beispiele.- 26. Weitere Anwendungen des Integralbegriffes in Geometrie und Mechanik.- 1. Das Volumen eines Drehkoerpers und der Inhalt einer Drehflache.- 2. Statisches Moment und Schwerpunkt eines ebenen Bereiches.- 3. Statisches Moment und Schwerpunkt eines Kurvenbogens.- 4. Das statische Moment eines Drehkoerpers.- 5. Tragheitsmoment ebener Bereiche und Kurvenbogen.- 6. Beispiele.- 7. Das Stieltjes-Integral.- 27. Numerische Integration.- 1. Die Rechtecksformeln.- 2. Die Trapezformeln.- 3. Keplers Fassregel und die Simpsonsche Formel.- 4. Fehlerabschatzung.- 28. Die komplexen Zahlen.- 1. Die Gausssche Zahlenebene.- 2. Das Rechnen mit komplexen Zahlen.- 3. Die Formeln von Moivre und Euler.- 4. Folgerungen aus der Eulerschen Formel.- 5. Darstellung der zyklometrischen Funktionen durch Logarithmen.- VI. Polynome, algebraische Gleichungen und rationale Funktionen.- 29. Polynome oder ganze rationale Funktionen.- 1. Grundbegriffe.- 2. Nullstellen eines Polynoms und Wurzeln einer Gleichung.- 3. Nullstellen reeller Polynome.- 4. Groesster gemeinsamer Teiler zweier Polynome. Mehrfache Nullstellen.- 5. Das Hornersche Divisionsverfahren.- 6. Das graphische Verfahren von Lill.- 30. Interpolation. Steigungen und Differenzen.- 1. Begriff der Interpolation. Die lineare Interpolation.- 2. Die Lagrangesche Interpolationsformel.- 3. Steigungen und Steigungsschema.- 4. Die Newtonsche Interpolationsformel.- 5. Fehlerabschatzung. Die Taylorsche Formel als Sonderfall der Newtonschen Interpolationsformel.- 6. Die verallgemeinerte Interpolationsaufgabe.- 7. Die Newtonsche Formel fur aquidistante Argumente. Das Differenzenschema.- 31. Algebraische Gleichungen.- 1. Allgemeines.- 2. Die reine Gleichung und die Kreisteilung.- 3. Die kubische Gleichung.- 4. Die biquadratische Gleichung.- 5. Reziproke Gleichungen.- 32. Numerische Aufloesung algebraischer Gleichungen.- 1. Vorbemerkungen.- 2. Die Cartesische Zeichenregel.- 3. Schranken fur die Wurzeln.- 4. Trennung der Wurzeln und numerische Aufloesung.- 5. Das Graeffesche Verfahren.- 33. Die rationalen Funktionen und ihre Integration.- 1. Rationale Funktionen.- 2. Die Teilbruchzerlegung einer rationalen Funktion.- 3. Die Integration der rationalen Funktionen.- 4. Abelsche Integrale.- 5. Die quadratische Irrationalitat.- 6. Zwei Sonderfalle.- 7. Die bilineare Irrationalitat.- 8. Binomische Integrale.- 9. Integration gewisser transzendenter Funktionen.- VII. Unendliche Reihen.- 34. Konvergenz und Divergenz der Reihen.- 1. Grundbegriffe.- 2. Eine notwendige Bedingung fur die Konvergenz einer Reihe.- 3. Das allgemeine Konvergenzprinzip von Cauchy.- 4. Das Konvergenzkriterium von Leibniz fur alternierende Reihen.- 5. Absolut konvergente Reihen.- 6. Das Rechnen mit Reihen.- 7. Unbedingt und bedingt konvergente Reihen.- 8. Multiplikation von Reihen.- 9. Unendliche Reihen und uneigentliche Integrale.- 35. Konvergenzkriterien.- 1. Reihenvergleichung.- 2. Das Quotientenkriterium.- 3. Die binomische Reihe.- 4. Das Wurzelkriterium.- 5. Die Reihe $$ \sum\limits_{v = 1}^\infty {\frac{1} {{{v^\alpha }}}} $$ mit ?> 0.- 36. Reihen und Funktionen.- 1. Gleichmassige Konvergenz.- 2. Stetigkeit der Summenfunktion.- 3. Integration unendlicher Reihen.- 4. Differentiation unendlicher Reihen.- 37. Potenzreihen.- 1. Der Fundamentalsatz uber Potenzreihen.- 2. Bestimmung des Konvergenzradius nach Cauchy.- 3. Eigenschaften der durch Potenzreihen dargestellten Funktionen.- 4. Die Taylorsche Reihe.- 5. Die Methode des unbestimmten Ansatzes.- 6. Noch einmal die binomische Reihe.- 38. Reihenentwicklung der elementaren Funktionen.- 1. Die geometrische Reihe.- 2. Die logarithmische Reihe.- 3. Die Reihe fur arctan x.- 4. Die Expon entialreihe.- 5. Die Reihen fur sin x, cos x, sh x und ch x.- 39. Fouriersche Reihen.- 1. Periodische Funktionen und harmonische Analyse.- 2. Trigonometrische Reihen.- 3. Fouriersche Reihen.- *4. Gleichmassige Konvergenz der Fourierreihe einer stetigen Funktion mit beschrankter und stuckweise stetiger Ableitung.- *5. Darstellbarkeit einer solchen Funktion durch ihre Fourierreihe.- *6. Fouriersche Reihen unstetiger Funktionen.- 7. Erganzende Bemerkungen. Beispiele.- 8. Die Partialbruchzerlegung des Cotangens und die Produktentwicklung des Sinus.- 9. Das Gibbssche Phanomen.- 10. Trigonometrische Interpolation.- Anhang. Loesungen der Aufgaben.- Namenverzeichnis (Biographische Notizen).

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