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INTRODUCTION. En 1866, M. Fuchs a publie un Memoire fondamental1 sur les fonctions d'une va- riable imaginaire definies par une equation differentielle lineaire. M. Tannery a expose les principes et les resultats de ce travail, en meme temps qu'il en a agrandi le cadre par des recherches personnelles2. Depuis, M. Tannery a etudie3 en particulier l'equa- tion qui, dans la theorie des fonctions elliptiques, relie au module la fonction complete de premiere espece. A partir de 1868, epoque a laquelle parut un second Memoire de M. Fuchs, l'etude des equations differentielles lineaires, devenue classique en Allemagne, y a donne nais- sance a un grand nombre de travaux. M. Fuchs a persevere, et deux geometres emi- nents, MM. Thome et Froebenius, ont entrepris des recherches interessantes et profondes sur ce sujet. J'ai pense etre utile en appelant l'attention sur ces analyses, qui ont leur point de depart dans les decouvertes de Cauchy et qui sont la suite naturelle des belles etudes de M. Puiseux sur les equations algebriques, de MM. Briot et Bouquet sur les equations differentielles du premier ordre. Je me suis donc propose d'elucider et de completer le plus possible ces travaux, en prenant pour base les Memoires de MM. Thome et Froebenius. Dans la premiere Partie, je rappelle les principes fondamentaux de la theorie des equations differentielles lineaires. La deuxieme est consacree a la definition des integrales regulieres et a leur re- cherche, cette recherche etant fondee sur la notion de l'indice caracteristique. Dans la troisieme Partie, je definis la fonction caracteristique, la fonction deter- minante, et je ramene la notion de l'indice caracteristique a la consideration plus naturelle de la fonction determinante. Puis on introduit les formes normales, les ex- pressions composees, et l'on etablit une proposition capitale concernant la fonction determinante d'une expression composee de plusieurs formes normales. Enfin, on pose les principes de la reductibilite

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9791041940264

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