Overview

Numerische Mathematik ist ein zentrales Gebiet der Mathematik, das für vielfältige Anwendungen die Grundlage bildet und das alle Studierenden der Mathematik, Ingenieurwissenschaften, Informatik und Physik kennenlernen. Das vorliegende Lehrbuch ist eine didaktisch exzellente, besonders sorgfältig ausgearbeitete Einführung für Anfänger. Eines der Ziele dieses Buches ist es, die mathematischen Grundlagen der numerischen Methoden zu liefern, ihre grundlegenden theoretischen Eigenschaften (Stabilität, Genauigkeit, Komplexität)zu analysieren, und ihre Leistungsfähigkeit an Beispielen und Gegenbeispielen mittels MATLAB zu demonstrieren. Die besondere Sorgfalt, die den Anwendungen und betreffenden Softwareentwicklungen gewidmet wurde, macht das vorliegende Werk auch für Studenten mit abgeschlossenem Studium, Wissenschaftler und Anwender des wissenschaftlichen Rechnens in vielen Berufsfeldern zu einem unverzichtbaren Arbeitsmittel.

Full Product Details

Author:   A. Quarteroni ,  L. Tobiska ,  R. Sacco ,  F. Saleri
Publisher:   Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. KG
Imprint:   Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K
Edition:   2002 ed.
Dimensions:   Width: 15.50cm , Height: 2.00cm , Length: 23.50cm
Weight:   1.190kg
ISBN:  

9783540678786

ISBN 10:   3540678786
Pages:   370
Publication Date:   09 October 2001
Audience:   Professional and scholarly ,  Professional & Vocational
Format:   Paperback
Publisher's Status:   Active
Availability:   In Print  
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Language:   German

Table of Contents

I: Ausgangspunkte.- 1 Grundlagen der linearen Algebra.- 1.1 Vektorraume.- 1.2 Matrizen.- 1.3 Operationen mit Matrizen.- 1.3.1 Inverse einer Matrix.- 1.3.2 Matrizen und lineare Abbildungen.- 1.3.3 Operationen mit Blockmatrizen.- 1.4 Spur und Determinante einer Matrix.- 1.5 Rang und Kern einer Matrix.- 1.6 Spezielle Matrizen.- 1.6.1 Blockdiagonale Matrizen.- 1.6.2 Trapez- und Dreiecksmatrizen.- 1.6.3 Bandmatrizen.- 1.7 Eigenwerte und Eigenvektoren.- 1.8 AEhniichkeitstransformationen.- 1.9 Die SingularwertZerlegung (SVD).- 1.10 Skalarprodukte und Normen in Vektorraumen.- 1.11 Matrixnormen.- 1.11.1 Beziehung zwischen Matrixnormen und dem Spek- tralradius einer Matrix.- 1.11.2 Folgen und Reihen von Matrizen.- 1.12 Positiv dehnite, diagonaldominante und M-Matrizen.- 1.13 UEbungen.- 2 Grundlagen der Numerischen Mathematik.- 2.1 Korrektheit und Konditionszahl eines Problems.- 2.2 Stabilitat numerischer Methoden.- 2.2.1 Beziehungen zwischen Stabilitat und Konvergenz.- 2.3 A priori und a posteriori. Analysis.- 2.4 Felllerquellen in Berechnungsmodellen.- 2.5 Computerzahlen.- 2.5.1 Das Positionssystem.- 2.5.2 Das Gleitkommazahlensystem.- 2.5.3 Verteilung von Gleitpunktzahlen.- 2.5.4 lEC/IEEE Arithmetik.- 2.5.5 Runden einer reellen Zahl In Maschinendarstellung.- 2.5.6 Maschinengleitpunktoperationen.- 2.6 UEbungen.- II: Numerische lineare Algebra.- 3 Direkte Methoden zur Loesung linearer Systeme.- 3.1 Stabilitatsanalyse linearer Systeme.- 3.1.1 Die Konditionszahl einer Matrix.- 3.1.2 A prior Vorwartsanalyse.- 3.1.3 A priori Riickwartsanalyse.- 3.1.4 A posteriori Analyse.- 3.2 Loesung von Drcicckssystemen.- 3.2.1 Implementation der Substitutionsmethoden.- 3.2.2 Rundungsfehleranalyse.- 3.2.3Inverse einer Dreiecksmatrix.- 3.3 Gauss-Ehniination (GEM) und LU-Faktorisierung.- 3.3.1 GEM als Faktorisierungsmethode.- 3.3.2 Die Auswirkung von Rundungsfehlem.- 3.3.3 Implementation dor LU-Faktorisierung.- 3.3.4 Kompakte Formen der Faktorisierung.- 3.4 Andere Arten der Zerlegung.- 3.4.1 LDMT-Faktorisierung.- 3.4.2 Symmetrische und positiv definite Matrizen: Die Cholesky-Faktorisierung.- 3.4.3 Rechteckmatrizen: Die QR-Faktorisierung.- 3.5 Pivotisierung.- 3.6 Berechnung der Invcrsen einer Matrix.- 3.7 Bandsysteme.- 3.7.1 TVidiagonale Matrizen.- 3.7.2 Aspekte der Impteiiieiitierung.- 3.8 Blocksysteine.- 3.8.1 Block-LU-Faktorisierung.- 3.8.2 Inverse einer blockpartitionierten Matrix.- 3.8.3 Blocktridiagonale Systeme.- 3.9 Schwachbesetzte Matrizen.- 3.9.1 Cuthill-McKee-Algorithmus.- 3.9.2 Zerlegung in Substrukturen.- 3.9.3 Geschachtelte Zerlegung.- 3.10 Die durch die GEM erzielte Genauigkeit der Loesung.- 3.11 Approximative Berechnung von K(A).- 3.12 Verbesserung der Genauigkeit der GEM.- 3.12.1 Skalierung.- 3.12.2 Iterative Verbesserung.- 3.13 Unbestimmte Systeme.- 3.14 Anwendungen.- 3.14.1 Knotenanalyse eines Fachwerkes.- 3.14.2 Regularisierung eines Dreiecksgitters.- 3.15 UEbungen.- 4 Iterative Methoden zur Loesung linearer Gleichungssysteme.- 4.1 UEber die Konvergenz iterativer Methoden.- 4.2 Lineare iterative Methoden.- 4.2.1 Jacobi-, Gauss-Seidel- und Relaxationsmethoden.- 4.2.2 Konvergenzresultate fur Jacobi- und Gauss-Seidel-Ver- fahren.- 4.2.3 Konvergenzresultate fur die Relaxationsmethode.- 4.2.4 A priori Vorwartsanalyse.- 4.2.5 Blockmatrizen.- 4.2.6 Symmetrische Form des Gauss-Seidel- und des SOR- Verfahrens.- 4.2.7 Implementierungsfragen.- 4.3 Stationare und instationare iterative Verfahren.- 4.3.1 Konvergcnzanalysis des Richardson-Verfahrens.- 4.3.2 Vorkonditionierer.- 4.3.3 DasGradientenverfahren.- 4.3.4 Das Verfahren der konjugierten Gradienten.- 4.3.5 Das vorkonditionierte Verfahren der konjugierten Gra- dienten.- 4.3.6 Das Verfahren der alternierenden Richtungen.- 4.4 Methoden, die auf Krylov-Teilraumiterationen basieren.- 4.4.1 Das Arnoldi-Verfahren fur lineare Systeme.- 4.4.2 Das GMRES-Verfahren.- 4.4.3 Das Lanczos-Verfahren fur symmetrische Systeme.- 4.5 Das Lanczos-Verfahren fur unsymmetrische Systeme.- 4.6 Abbruchkriterien.- 4.6.1 Ein auf den Zuwachs basierender Abbruchtest.- 4.6.2 Ein auf das Residuum basiertes Abbruchkriterium.- 4.7 Anwendungen.- 4.7.1 Analyse eines elektrischen Netzwerkes.- 4.7.2 Finite Differenzen Analyse der Balkenbiegung.- 4.8 UEbungen.- 5 Approximation von Eigenwerten und Eigenvektoren.- 5.1 Geometrische Lage der Eigenwerte.- 5.2 Stabilitat und Analyse der Kondition.- 5.2.1 A priori Abschatzungen.- 5.2.2 A posteriori Abschatzungen.- 5.3 Die Methode der Vektoriteration.- 5.3.1 Approximation des betragsmassig groessten Eigenwertes.- 5.3.2 Inverse Iteration.- 5.3.3 Implementierungsaspekte.- 5.4 Die QR-Iteration.- 5.5 Das Basisverfahren der QR,-Iteration.- 5.6 Die QR-Methode fur Matrizen in Hessenberg-Form.- 5.6.1 Householder- und Givens-Transformationsmatrizen.- 5.6.2 Reduktion einer Matrix in Hessenberg-Form.- 5.6.3 QR-Faktorisierung einer Matrix in Hessenberg-Form.- 5.6.4 Die Basisform der QR-Iteration beginnend mit oberer Hessenberg-Form.- 5.6.5 Implementation der Transformationsmatrizen.- 5.7 Die QR-Iteration mit Verschiebungen.- 5.7.1 Die QR-Methode mit einfacher Verschiebung.- 5.7.2 Die QR-Methode mit doppelter Verschiebung.- 5.8 Berechnung der Eigenvektoren und die SVD einer Matrix.- 5.8.1 Die inverse Hessenberg-Iteration.- 5.8.2 Berechnung der Eigenvektoren aus der Schur-Form einer Matrix.- 5.8.3 Approximative Berechnung der SVD einer Matrix.- 5.9 Das verallgemeinerte Eigenwertproblem.- 5.9.1 Berechnung der verallgemeinerten reellen Schur-Form.- 5.9.2 Verallgemeinerte reelle Schur-Form von symmctrisch- definiten Buscheln.- 5.10 Methoden fur Eigenwerte symmetrischer Matrizen.- 5.10.1 Die Jacobi-Methode.- 5.10.2 Die Methode der Sturmschen Ketten.- 5.11 Das Lanczos-Verfahren.- 5.12 Anwendungen.- 5.12.1 Analyse der Knicklast eines Balkens.- 5.12.2Freie dynamische Schwingungen einer Brucke.- 5.13 UEbvmgen.- III: Nichtlineare Gleichungen und Optimierung.- 6 Bestimmung der Wurzehi nichtlinearer Gleichungen.- 6.1 Kondition einer nichtlinearen Gleichung.- 6.2 Ein geometrisches Verfahren zur Nullstellenbestimmung.- 6.2.1Die Bisektionsmethode.- 6.2.2 Das Sehnenverfahren, das Sekantenverfahren, die Re- gula Falsi und das Newton-Vorfahren.- 6.2.3 Das Dckker-Brent-Verfahren.- 6.3 Fixpunkt-Iterationen fur nichthneare Gleichungen.- 6.3.1 Konvergenzresultate fur einige Fixpunktmethoden..- 6.4 Nullstellen algebraischer Gleichungen.- 6.4.1 Das Hornerschema und die Reduktion.- 6.4.2 Das Newton-Horner-Schema.- 6.4.3 Das Muller-Verfahren.- 6.5 Abbruchkriterien.- 6.6 Nachbearbeitungstechniken fur iterative Methoden.- 6.6.1 Ait ken-Beschleunigung.- 6.6.2Techniken fur mehrfache Wurzeln.- 6.7 Anwendungen.- 6.7.1Analyse derZustandsgieichung fur reale Gase.- 6.7.2 Analyse einer nichtlinearen elektrischen Schaltung.- 6.8 UEbungen.- 7 Nichtlineare Systeme und numerische Optimierung.- 7.1 Loesung nichthnearer Gleichungssysteme.- 7.1.1 Newton-Verfahren und seine Varianten.- 7.1.2 Modifiziertes Newton-Verfahren.- 7.1.3 Quasi-Newton-Verfahr en.- 7.1.4 Sekantenahnliche Verfahren.- 7.1.5 Fixpunktmethoden.- 7.2 Nichtrestringierte Optimierung.- 7.2.1 Direkte Suchverfahren.- 7.2.2 Abstiegsmethoden.- 7.2.3 Liniensuchverfahren.- 7.2.4 Abstiegsmethoden fur quadratische Funktionen.- 7.2.5 Newton-ahnliche Methoden zur Minimierung von Funk- tionen.- 7.2.6 Quasi-Newton-Verfahren.- 7.2.7 Sekantenahnliche Verfahren.- 7.3 Optimierung unter Nebenbedingungen.- 7.3.1 Notwendige Kuhn-Tucker Bedingungen fur nichth- neare Optimierung.- 7.3.2 Die Strafmethode.- 7.3.3 Die Methode der Langrangeschen Multiplikatoren.- 7.4 Anwendungen.- 7.4.1 Loesung eines nichtHnearen Systems bei der Halblei- terbauteilsimulation.- 7.4.2 Nichtlineare Regularisierung eines Diskretisierungs- gitters.- 7.5 UEbungen.- Literatur.- Index der MATLAB Programme.

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