Overview
This is a comprehensive two-volumes text on plane and space geometry, transformations and conics, using a synthetic approach. The first volume focuses on Euclidean Geometry of the plane, and the second volume on Circle measurement, Transformations, Space geometry, Conics. The book is based on lecture notes from more than 30 courses which have been taught over the last 25 years. Using a synthetic approach, it discusses topics in Euclidean geometry ranging from the elementary (axioms and their first consequences), to the complex (the famous theorems of Pappus, Ptolemy, Euler, Steiner, Fermat, Morley, etc.). Through its coverage of a wealth of general and specialized subjects, it provides a comprehensive account of the theory, with chapters devoted to basic properties of simple planar and spatial shapes, transformations of the plane and space, and conic sections. As a result of repeated exposure of the material to students, it answers many frequently asked questions. Particularattention has been given to the didactic method; the text is accompanied by a plethora of figures (more than 2000) and exercises (more than 1400), most of them with solutions or expanded hints. Each chapter also includes numerous references to alternative approaches and specialized literature. The book is mainly addressed to students in mathematics, physics, engineering, school teachers in these areas, as well as, amateurs and lovers of geometry. Offering a sound and self-sufficient basis for the study of any possible problem in Euclidean geometry, the book can be used to support lectures to the most advanced level, or for self-study.
Full Product Details
Author: Paris Pamfilos
Publisher: Springer International Publishing AG
Imprint: Springer International Publishing AG
Edition: 1st ed. 2024
Weight: 0.973kg
ISBN: 9783031489099
ISBN 10: 3031489098
Pages: 441
Publication Date: 06 February 2024
Audience:
College/higher education
,
Professional and scholarly
,
Tertiary & Higher Education
,
Professional & Vocational
Format: Hardback
Publisher's Status: Active
Availability: Manufactured on demand 
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Table of Contents
1The basic notions 1 1.1 Undefined terms, axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Line and line segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Length, distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Angle kinds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.7 The equality of shapes (congruence) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.8 Isosceles and right triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.9 Triangle congruence criteria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.10 Relative measures of triangle angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.11 The triangle inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.12 The orthogonal to a line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.13 The parallel from a point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.14 The sum of triangle angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.15 The axiom of parallels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.16 Symmetries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 1.17 Ratios, harmonic tetrads . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.18 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2 Circle and polygons 57 2.1 The circle, the diameter, the chord . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2 Circle and line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2.3 Two circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.4 Constructions by ruler and compass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.5 Parallelograms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.6 Quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.7 The middles of sides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.8 The triangle medians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.9 The rectangle and the square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.10 Other kinds of quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 2.11 Polygons, regular polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.12 Arcs, central angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 2.13 Inscribed angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 2.14 Inscriptible quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 2.15 Circumscribed quadrilaterals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 2.16 Geometric loci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 2.17 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3 Areas, Thales, Pappus, Pythagoras 135 3.1 Area of polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.2 The area of the rectangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 3.3 Area of parallelogram and triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 3.4 Pythagoras and Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 CONTENTS xi 3.5 Similar right triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 3.6 The trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 3.7 The theorem of Thales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 3.8 Pencils of lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 3.9 Similar triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 3.10 Similar polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 3.11 Triangle’s sine and cosine rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 3.12 Stewart, medians, bisectors, altitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 3.13 Antiparallels, symmedians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 3.14 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 4 The power of the circle 233 4.1 Power with respect to circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 4.2 Golden section and regular pentagon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 4.3 Radical axis, radical center . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 4.4 Apollonian circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245 4.5 Circle pencils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 4.6 Orthogonal circles and pencils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 4.7 Similarity centers of two circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 4.8 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 4.9 Polar and pole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 4.10 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 5 From the classical theorems 311 5.1 Escribed and excenters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 5.2 Heron’s formula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 5.3 Euler’s circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 5.4 Feuerbach’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322 5.5 Euler’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 5.6 Tangent circles of Apollonius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 5.7 Theorems of Ptolemy and Brahmagupta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 5.8 Simson’s and Steiner’s lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 5.9 Miquel point, pedal triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344 5.10 Arbelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 5.11 Sangaku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 5.12 Fermat’s and Fagnano’s theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 5.13 Morley’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 5.14 Signed ratio and distance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 5.15 Cross ratio, harmonic pencils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372 5.16 Theorems of Menelaus and Ceva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379 5.17 The complete quadrilateral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 5.18 Theorem of Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393 5.19 Theorem of Pappus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 5.20 Theorems of Pascal and Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400 5.21 Castillon’s problem, homographic relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 5.22 Malfatti’s problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 5.23 Calabi’s triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 5.24 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420 6 Circle measurement 441 6.1 The difficulties, the limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441 6.2 Definition of the perimeter of the circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 6.3 The number π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447 6.4 Arc length of a circle, radians . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449 6.5 Definition of the area of the circle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451 xii CONTENTS 6.6 The area of a circular sector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455 6.7 The isoperimetric inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459 6.8 Anthyphairesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463 6.9 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466 7 Transformations of the plane 473 7.1 Transformations, isometries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473 7.2 Reflections or mirrorings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 7.3 Translations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 7.4 Rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484 7.5 Congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 7.6 Homotheties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492 7.7 Similarities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495 7.8 Inversions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504 7.9 The hyperbolic plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506 7.10 Archimedean tilings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516 7.11 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523 8 Lines and planes in space 531 8.1 Axioms for space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 8.2 Parallel planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536 8.3 Angles in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538 8.4 Skew lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540 8.5 Line orthogonal to plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 8.6 Angle between line and plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548 8.7 Theorem of Thales in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550 8.8 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553 9 Solids 557 9.1 Dihedral angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557 9.2 Trihedral angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 9.3 Pyramids, polyhedral angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 9.4 Tetrahedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571 9.5 Regular pyramids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574 9.6 Polyhedra, Platonic solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577 9.7 Prisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581 9.8 Cylinder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585 9.9 Cone, conical surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586 9.10 Truncated cone, cone unfolding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 9.11 Sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593 9.12 Spherical and circumscribed polyhedra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 9.13 Spherical lune, angle of great circles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602 9.14 Spherical triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603 9.15 The supplementary triheder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 607 9.16 Axonometric projection, affinities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611 9.17 Perspective projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616 9.18 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619 10 Areas in space, volumes 631 10.1 Areas in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 10.2 Area of the sphere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 10.3 Area of spherical polygons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 10.4 Euler Characteristic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 10.5 Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645 10.6 Volume of prisms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 647 CONTENTS xiii 10.7 Volume of pyramids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 10.8 Volume of cylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656 10.9 Volume of cones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 658 10.10Volume of spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 10.11Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666 11 Conic sections 673 11.1 Conic sections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 11.2 Dandelin’s spheres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 11.3 Directrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679 11.4 General characteristics of conics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686 11.5 The parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693 11.6 The ellipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700 11.7 The hyperbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 709 11.8 Comments and exercises for the chapter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718 12 Transformations in space 733 12.1 Isometries in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 733 12.2 Reflections in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735 12.3 Translations in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738 12.4 Rotations in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 739 12.5 Congruence in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742 12.6 Homotheties in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748 12.7 Similarities in space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749 12.8 Archimedean solids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751 12.9 Epilogue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757 Bibliography 759 Index 769
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Paris Pamfilos was born in Athens, Greece, and studied in Athens, Bonn and Cologne. His Ph.D. (in Differential Geometry) was obtained in Cologne under the supervision of Prof. Peter Dombrowski. He has held various assistant, researcher and visiting-professor positions at the Universities of Bonn, Essen, and Nicosia, and was an associate professor in the Department of Mathematics, University of Crete. He enjoys teaching, programming, and (in the infrequent remaining free time) doing his philosophical parerga. He speaks Greek, German, French, English, Italian and Russian. His main interest is in Geometry, especially Euclidean Geometry, a subject that he has lectured on for more than 25 years, and on which he continues to publish original articles.
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