Overview

Dieses Buch will weder ein Lehrbuch der Funktionalanalysis noch eines der numerischen Mathematik sein; sondern es möchte nur zeigen, wie sich in der numerischen Mathematik in neuerer Zeit ein Struktur­ wandel vollzogen hat, wie durch den Einsatz einerseits der Groß­ rechenanlagen und andererseits abstrakter Methoden ein Bild der numerischen Mathematik entstanden ist, welches sich von demjenigen vor etwa 10 bis 20 Jahren wesentlich unterscheidet. Es ist genauso wie in anderen Teilen der Mathematik auch in der numerischen Mathe­ matik ein starker Zug zur Abstraktion vorhanden. Zugleich verwischen sich die Grenzen zwischen den einzelnen mathematischen Disziplinen. So ist es heute schwer zu sagen, ob z. B. die Funktionalanalysis zur sog. reinen oder zur sog. angewandten Mathematik gehört. Die Funk­ tionalanalysis ist eine Grundlage für große Teile beider genannten Dis­ ziplinen, und der Verfasser wäre glücklich, wenn dieses Buch dazu beitragen würde, den unseligen Unterschied zwischen ""reiner"" und ""angewandter"" Mathematik ad absurdum zu führen; denn es gibt keine Trennungslinie zwischen diesen beiden Gebieten, es gibt nur eine M athe­ matik, von der Analysis, Topologie, Algebra, numerische Mathematik, Wahrscheinlichkeitsrechnung usw. einige ineinandergehende Teilgebiete sind.

Full Product Details

Author:   Lothar Collatz
Publisher:   Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. KG
Imprint:   Springer-Verlag Berlin and Heidelberg GmbH & Co. K
Edition:   Softcover reprint of the original 1st ed. 1964
Volume:   120
Dimensions:   Width: 15.50cm , Height: 2.10cm , Length: 23.50cm
Weight:   0.605kg
ISBN:  

9783642533327

ISBN 10:   3642533329
Pages:   374
Publication Date:   01 January 1968
Audience:   Professional and scholarly ,  Professional & Vocational
Format:   Paperback
Publisher's Status:   Active
Availability:   In Print  
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Language:   German

Table of Contents

I Grundlagen der Funktionalanalysis mit Anwendungen.- 1. Typische Fragestellungen der numerischen Mathematik.- 1.1 Einige allgemeine Begriffe.- 1.2 Loesungen von Gleichungen.- 1.3 Untersuchung der Eigenschaften der Loesungen von Gleichungen.- 1.4 Extremalaufgaben mit oder ohne Nebenbedingungen.- 1.5 Darstellungsaufgaben (Koeffizientenbestimmungen).- 1.6 Auswertungen.- 2. Einige Typen von Raumen.- 2.1 Hoeldersche und Minkowskische Ungleichung.- 2.2 Der topologische Raum.- 2.3 Quasimetrische und metrische Raume.- 2.4 Lineare Raume.- 2.5 Normierte Raume.- 2.6 Unitare Raume und Schwarzsche Ungleichung.- 2.7 Die Parallelogrammgleichung.- 2.8 Orthogonalitat in unitaren Raumen, Besselsche Ungleichung.- 3. Ordnungen.- 3.1 Halbordnung und Totalordnung.- 3.2 Verbande.- 3.3 Pseudometrische Raume.- 4. Konvergenz und Vollstandigkeit.- 4.1 Konvergenz im pseudometrischen Raum.- 4.2 Cauchy-konvergente Folgen.- 4.3 Vollstandigkeit, Hilbert- und Banachraume.- 4.4 Einige Stetigkeitsaussagen.- 4.5 Einfache Folgerungen fur den Hilbertschen Raum, Unterraume.- 4.6 Vollstandige Orthonormalsysteme in Hilbertraumen.- 4.7 Beispiele.- 4.8 Schwache Konvergenz.- 5. Kompaktheit.- 5.1 Kompakt und kompakt in sich.- 5.2 Beispiele fur Kompaktheit.- 5.3 Der Satz von Arzela.- 5.4 Von Integraloperatoren erzeugte, in sich kompakte Funktionenmengen.- 6. Operatoren in pseudometrischen und spezielleren Raumen.- 6.1 Lineare und beschrankte Operatoren.- 6.2 Zusammensetzung von Operatoren.- 6.3 Der inverse Operator.- 6.4 Beispiele von Operatoren.- 6.5 Die Inversen benachbarter Operatoren.- 6.6 Die Kondition eines linearen beschrankten Operators.- 6.7 Eine Fehlerabschatzung fur ein Iterationsverfahren.- 6.8 Der Satz von Riesz und der Auswahlsatz.- 6.9 Ein Satz von Banach uber Folgen von Operatoren.- 6.10 Anwendung auf Quadraturformeln.- 7. Operatoren in Hilbertraumen.- 7.1 Der adjungierte Operator.- 7.2 Beispiele.- 7.3 Differentialoperatoren bei Funktionen einer Veranderlichen.- 7.4 Differentialoperatoren bei Funktionen mehrerer Veranderlichen.- 7.5 Vollstetige Operatoren.- 7.6 Vollstetige Integraloperatoren.- 7.7 Restgliedabschatzungen fur holomorphe Funktionen.- 7.8 Ableitungsfreie Abschatzungen fur Quadraturfehler.- 7.9 Ein Grundprinzip der Variationsrechnung.- 8. Eigenwertaufgaben.- 8.1 Allgemeine Eigenwertaufgaben.- 8.2 Spektrum eines Operators in einem metrischen Raum.- 8.3 EinschlieBungssatz fur Eigenwerte.- 8.4 Projektionen.- 8.5 Extremaleigenschaften der Eigenwerte.- 8.6 Zwei Minimalprinzipien bei Differentialgleichungen.- 8.7 Rirzsches Verfahren.- 9. Vektornormen und Matrixnormen.- 9.1 Vektornormen.- 9.2 Vergleich verschiedener Vektornormen.- 9.3 Matrixnormen.- 9.4 Aus der Matrizenlehre.- 9.5 Evxtrnische Vektornorm und passende Matrixnormen.- 9.6 Andere Vektornormen und zugeordnete Matrixnormen.- 9.7 Transformierte Normen.- 10. Weitere Satze uber Vektor- und Matrixnormen.- 10.1 Duale Vektornormen.- 10.2 Bestimmung einiger dualer Normen.- 10.3 Matrixpotenzen.- 10.4 Eine Minimaleigenschaft der Spektralnorm.- 10.5 Abweichung einer Matrix von der Normalitat.- 10.6 Spektralvariation zweier Matrizen.- 10.7 Vermischte Aufgaben zu Kapitel I.- 10.8 Hinweise zu den Loesungen bei einigen Aufgaben von 10.7.- II Iterative Verfahren.- 11. Der Fixpunktsatz fur das allgemeine Iterationsverfahren in pseudometrischen Raumen.- 11.1 Iterationsverfahren und einfache Beispiele.- 11.2 Iterationsverfahren bei Differentialgleichungen.- 11.3 Der allgemeine Fixpunktsatz.- 11.4 Beweis des allgemeinen Fixpunktsatzes.- 11.5 Der Eindeutigkeitssatz.- 12. Spezialfalle des Fixpunktsatzes und Abanderung des Operators.- 12.1 Spezialfall eines linearen Hilfsoperators P.- 12.2 Spezialfall eines metrischen Raumes mit P als Zahlenfaktor.- 12.3 Spezialfall eines metrischen Raumes mit P als nichtlinearer, reellwertiger Funktion.- 12.4 Durchfuhrung von Iterationen mit einem abgeanderten Operator und Genauigkeitsfragen.- 12.5 Fehlerabschatzung bei abgeanderter Iteration.- 13. Iterationsverfahren bei Gleichungssystemen.- 13.1 Eine einzelne Gleichung.- 13.2 Verschiedene Iterationsverfahren bei Gleichungssystemen.- 13.3 Einige Konvergenzkriterien bei linearen Gleichungssystemen.- 13.4 Zeilen- und Spaltensummenkriterium.- 14. Gleichungssysteme und Differenzenverfahren.- 14.1 Differenzenverfahren bei elliptischen Differentialgleichungen.- 14.2 Fehlerabschatzung fur Gesamtschritt- und Einzelschrittverfahren.- 14.3 Gruppeniteration.- 14.4 Unendliche lineare Gleichungssysteme.- 14.5 Overrelaxation mit Fehlerabschatzung.- 14.6 Wahl des Overrelaxationsfaktors.- 14.7 Methode der alternierenden Richtungen.- 15. Iterationsverfahren bei Differential- und Integralgleichunge n.- 15.1 Nichtlineare Randwertaufgaben.- 15.2 Nichtlineare gewoehnliche Differentialgleichungen.- 15.3 Integralgleichungen.- 15.4 Systeme hyperbolischer Differentialgleichungen.- 15.5 Fehlerabschatzung bei hyperbolischen Systemen.- 16. Ableitung von Operatoren in supermetrischen Raumen.- 16.1 Die Frechetsche Ableitung.- 16.2 Hoehere Ableitungen.- 16.3 Die Kettenregel der Differentialrechnung.- 16.4 Grundsatzliche Beispiele zur Bildung der Ableitungen.- 16.5 L-metrische Raume.- 16.6 Mittelwertsatz und Taylorsche Formel.- 17. Aufstellung von Iterationsverfahren.- 17.1 Gewoehnliches und vereinfachtes Newtonsches Verfahren.- 17.2 Fehlerabschatzung fur das vereinfachte Newtonsche Verfahren.- 17.3 Vereinfachtes Newtonsches Verfahren bei nichtlinearen Randwertaufgaben.- 17.4 Die Ordnung von Iterationsverfahren.- 17.5 Iterationsverfahren bei Gleichungen mit holomorphen Funktionen, auch bei mehrfachen Nullstellen.- 17.6 Allgemeines Iterationsverfahren k-ter Ordnung zur Loesung der Operatorgleichung T u = ?.- 17.7 Bemerkung uber den Rechenaufwand bei Verfahren hoeherer Ordnung.- 18. Regula falsi.- 18.1 Primitivform und Normalform der Regula-falsi-Verscharfungen.- 18.2 Primitivform der Regula falsi bei reellen Funktionen einer Veranderlichen.- 18.3 Die Regula falsi bei Operatorgleichungen.- 18.4 Erweiterungen der Regula falsi.- 18.5 Steigungen eines Operators und Newtonsches Interpolationspolynom.- 18.6 Konvergenz der Regula-falsi-Methode bei reellen Funktionen einer Veranderlichen.- 18.7 Allgemeinere Verfahren und Beispiele.- 19. Newtonsches Verfahren mit Verscharfungen.- 19.1 Das Newtonsche Verfahren mit Verscharfungen und die grundlegenden Abschatzungsfunktionen.- 19.2 Allgemeiner Konvergenzsatz fur die Newtonschen Verfahren mit Verscharfungen.- 19.3 Allgemeine Bemerkungen uber die Anwendung des Newtonschen Verfahrens.- 19.4 Das Newtonsche Verfahren bei Eigenwertaufgaben.- 19.5 Das Newtonsche Verfahren bei Approximationsaufgaben.- 20. Monotonie und Extremalprinzipien beim Newtonschen Verfahren.- 20.1 Problemklasse, konvexe und konkave Operatoren.- 20.2 Monotonie beim Newtonschen Verfahren.- 20.3 Extremalprinzipien und EinschlieBungssatz.- 20.4 Beispiele nichtlinearer Randwertaufgaben.- 20.5 Konvergenzuntersuchung.- 20.6 Vermischte Aufgaben zu Kap. II.- 20.7 Hinweise zu den Loesungen.- III Monotonie, Ungleichungen und weitere Gebiete.- 21. Monotone Operatoren.- 21.1 Definition und Beispiele.- 21.2 Monoton zerlegbare Operatoren.- 21.3 Anwendung des Schauderschen Fixpunktsatzes.- 21.4 Anwendung des Schauderschen Satzes bei nichtlinearen Differentialgleichungen.- 21.5 Anwendung auf reelle lineare Gleichungssysteme.- 22. Weitere Anwendungen des Schauderschen Satzes.- 22.1 Extrapolation mit Fehlerabschatzung bei einer monotonen Iterationsfolge.- 22.2 Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme.- 22.3 Anwendung auf lineare Differentialgleichungen.- 22.4 Ein weiterer Monotoniesatz.- 22.5 Anwendungen auf nichtlineare Integralgleichungen.- 23. Monotone Art bei Matrizen und Randwertaufgaben.- 23.1 Matrizen monotoner Art.- 23.2 Monotone Art bei linearen Randwertaufgaben gewoehnlicher Differentialgleichungen.- 23.3 Randmaximumsatz bei nichtlinearen elliptischen Differentialgleichungen.- 23.4 Monotone Art bei nichtlinearen elliptischen Differentialgleichungen.- 23.5 Spezialfall der linearen elliptischen Differentialgleichungen.- 24. Anfangswertaufgaben und weitere Monotoniesatze.- 24.1 Strenge Monotonie bei parabolischen Gleichungen.- 24.2 Der allgemeine Monotoniesatz.- 24.3 Nichtlineare hyperbolische Differentialgleichungen.- 24.4 Majorisierung der Greenschen Funktion und nichtlineare Randwertaufgaben.- 25. Approximation von Funktionen.- 25.1 Problemstellungen bei Approximationsfragen.- 25.2 Lineare Approximation.- 25.3 Menge der Minimalloesungen bei rationaler Approximation.- 25.4 Existenzsatz fur rationale Tschebyscheff-Approximation.- 25.5 Allgemeiner EinschlieBungssatz fur die Minimalabweichung.- 25.6 Ein System von Ungleichungen.- 25.7 Anwendungen.- 25.8 Rationale T-Approximation und Eigenwertaufgaben.- 26. Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Austauschverfahren.- 26.1 Die diskrete T-Approximation.- 26.2 Referenz und Refeienzabweichung.- 26.3 Das Zentrum.- 26.4 Austauschverfahren.- 26.5 Vermischte Aufgaben zu Kap. III.- 26.6 Hinweise zu den Loesungen.- Anhang: Zum Schauderschen Fixpunktsatz.- 26.7 Hilfssatze uber kompakte Mengen.- 26.8 Zwei Fassungen des Schauderschen Fixpunktsatzes.- Namenverzeichnis.

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