Overview

Bevor wir ein erstes (und letztes) Mal versuchen, die Aufgaben der Topologie zu formu- lieren, sollen einige Bemerkungen verdeutlichen, urn was es geht, wenn von einer Grund- struktur die Rede ist. Wenn sich der Student eines Tages entschlieBt, emsthaft Topologie zu lemen, ist er ihr liingst bei verschiedenen Gelegenheiten in seiner Ausbildung begegnet. Er beschiiftigt sich drum mit der ""Grundstruktur"" Topologie in einer Situation, in der das mathema- tische ProblembewuBtsein erheblich gereift ist und als Motivationshilfe herangezogen werden kann. Nun gibt es - und besonders die kiinftigen Lehramtskandidaten sollten dies bedenken - seit einigen Jahren im Zuge der ""Neuen Mathematik"" Bestrebungen, Topologie als eine Grundstruktur mathematischer Vorerfahrungen anzusehen. In Lehr- btichem fUr ABC-Schtitzen findet man ganze Abschnitte tiber Begriffe wie Inneres, Rand, offen, zusammenhiingend, Kurve oder Graph, die didaktische Literatur zur Primarstufe ist voll von Ratschliigen, wie man naive Vorstellungen vom Verbiegen, Strecken und Stauchen fUr den Unterricht nutzbar machen kann, und in jedem Buch zur Unterhal- tungsmathematik findet man Eulers Brtickenproblem und das Mobiusband. Nattirlich werden wir die Frage, ob es sich bei der Topologie in einem - die Bourbakischen Vor- stellungen weit tibersteigenden - Sinne urn eine psychologische Grundstruktur riium- licher Wahrnehrnung handelt, schlieBlich den Entwicklungspsychologen tibedassen mtis- sen. FUr den Mathematiker ist jedoch interessant, daB viele Fragestellungen der Topologie unmittelbar aus alltiiglichen oder elementarmathematischen tlbedegungen erwachsen und daB die Delikatesse der Antworten dem interessierten Laien doch nur schwer ver- stiindlich zu machen ist.

Full Product Details

Author:   Lutz Führer
Publisher:   Springer Fachmedien Wiesbaden
Imprint:   Vieweg+Teubner Verlag
Edition:   1977 ed.
Dimensions:   Width: 17.00cm , Height: 1.20cm , Length: 24.40cm
Weight:   0.409kg
ISBN:  

9783528030599

ISBN 10:   3528030593
Pages:   222
Publication Date:   01 January 1977
Audience:   Professional and scholarly ,  Professional & Vocational
Format:   Paperback
Publisher's Status:   Active
Availability:   In Print  
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Language:   German

Table of Contents

I: Raume und Abbildungen.- 1. Konvergenz metrische Raume, Konvergenz von Folgen und Filtern, Umgebungsraume.- 2. Offene Mengen topologische Raume, Basis, Subbasis.- 3. Stetigkeit stetige Funktionen, 1. Abzahlbarkeitsaxiom, gleichmassig konvergente Funktionenfolgen.- 4. Besondere Punkte und Mengen in topologischen Raumen abgeschlossene Mengen, Rand, Unstetigkeitsstellen von Funktionen.- 5. Initiale Konstruktionen Unterraume, Produkte, topologische Gruppen und Vektorraume.- 6. Finale Konstruktionen Quotienten, Summen, stuckweise definierte stetige Funktionen, finale Konstruktionen bei Gruppen und Vektorraumen.- 7. Gleichmassige Strukturen uniforme Raume, Systeme von Pseudometriken, gleichmassig stetige Abbildungen, initiale Konstruktionen.- 8. Vollstandigkeit Fortsetzung gleichmassig stetiger Abbildungen, Vervollstandigung, Satz von Baire, Fixpunktsatz von Banach.- II: Topologische Invarianten.- 9. Trennung Trennungsaxiome, Eindeutigkeit der Vervollstandigung und Fortsetzung, Uniformisierbarkeit, Einbettung vollstandig regularer Raume, Satz von Tietze-Urysohn.- 10. Zusammenhang.- 11. Kompaktheit verschiedene Kompaktheitsbegriffe, kompakte uniforme Raume, Produktsatz, lokalkompakte Raume, Ein-Punkt-Kompaktifizierung.- Anwendungen des Kompaktheitsbegriffes Satze von Stone-Weierstrass, uber endlich-dimensionale Vektorraume, von Alaoglu-Bourbaki, Stone-Cech-Kompaktifizierung, ?-kompakte Raume und kompakte Konvergenz, Kontinua.- 12. Metrisierung und Abzahlbarkeit separable Raume, 2. Abzahlbarkeitsaxiom, Metrisationssatz von Urysohn, Parakompaktheit, Satz von Stone, Zerlegung der Eins.- III: Stetigkeitsgeometrie.- 13. Kurven Peano-Kurven, Jordan-Kurven, Satze von Banach-Mazur, Moore und Hahn-Mazurkiewicz-Sierpinski, ebene Kurven, Satz von Schoenflies.- 14. Homotopie kompakt-offene Topologie, Homotopiegruppen, verallgemeinerte Zwischenwertsatze, Berechnung von Homotopiegruppen, Abbildungsgrad, Invarianz von Dimension bzw. offenen Mengen, Satz von Jordan-Brouwer.- 15. Mannigfaltigkeiten lokal m-dimensionale Raume, Einbettung von Mannigfaltigkeiten, eindimensionale Mannigfaltigkeiten, Verklebung topologischer Raume, 2- und hoeherdimensionale Mannigfaltigkeiten, Gruppenoperationen.- Verzeichnis der Abkurzungen.- Literaturhinweise.- Namens- und Sachverzeichnis.

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